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∫2x^(3)e^(∫2xdx)dxを積分する

ここ数週間、訳あって微分方程式の学習をしています。
微積分をやっていると「中高6年間の数学はこのためにあったのか!」と感じるようなところがあります。

さて、テキストの演習問題で一問、かなり悩んだものがあったので、備忘録も兼ねて書いておきたいと思います。
しばらく検索したのですがこの形のものがなかなか見つからず。最終的には以下のサイトが非常に参考になりました。(というかほぼそのまま)

算数数学の質問まとめブログ : f(x)=x^3 * e^(-x^2) を積分したい
http://blog.livedoor.jp/sansusugakuquestion/archives/30501541.html

やってみれば大したことではないのですが、この形の置換積分は初めて見た(気がする)のでなるほど、という感じです。
調べると、後半のe^(x^2)になる部分は初等関数で不定積分を表すことはできないそうです。

\[f(x) = \int2x^{3}e^{\int2xdx}dx \\
=\int2x^{3}e^{x^{2}}dx \\
t=x^{2}として、\frac{dt}{dx}=2x \\
上式=\int \Bigl(2x^{3}e^{x^{2}}\cdot\frac{1}{2x}\frac{dt}{dx} \Bigl)dx \\
=\int x^{2}e^{x^2}\frac{dt}{dx}dx \\
=\int te^{t} dt \\
=\int \{ (e^{t})'\cdot t \} dt \\
=e^{t}t - \int (e^{t} \cdot 1 )dt \\
=e^{t}(t-1) + C \\
\therefore f(x) = e^{x^{2}}(x^{2}-1) + C \\(C:積分定数) \]


数式を打ち込むのって案外良い暇つぶしになるかもしれません。

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